椭圆曲线

有限域F_p上的椭圆曲线是由点组成的集合。椭圆曲线上点P（非无穷远点）的坐标表示为P=(x_P,y_P)，其中x_P,y_P为域元素且满足下文给出的方程。

定义在F_p（p>3且为素数）上的椭圆曲线方程为y^2=x^3+ax+b，其中4a^3+27b^2模p不为0。 椭圆曲线E(F_p)由有限域F_p在其上的所有点和一个无穷远点构成。

椭圆曲线上点的数目称为椭圆曲线的阶。

椭圆曲线算术

椭圆曲线上的点按照一定的加法运算规则构成一个交换群，椭圆曲线上同一个点的多次加称为该点的多倍点运算，可以递归求得。

椭圆曲线上点的压缩

对于椭圆曲线上的任意非无穷远点P=(x_P,y_P)，该点可以由仅存储x坐标x_P以及由x_P,y_P导出的一个特定比特简洁地表示，称为点的压缩表示。

具体地，设P=(x_P,y_P)是定义在F_p上椭圆曲线E:y^2=x^3+ax+b上的一个点，yP是y_P的最右侧比特，则点P可由x_P,yP表示。

命名椭圆曲线

目前椭圆曲线密码中常用的椭圆曲线包括：

sm2

参数

值

p

0xfffffffeffffffffffffffffffffffffffffffff00000000ffffffffffffffff

a

0xfffffffeffffffffffffffffffffffffffffffff00000000fffffffffffffffc

b

0x28e9fa9e9d9f5e344d5a9e4bcf6509a7f39789f515ab8f92ddbcbd414d940e93

G

(0x32c4ae2c1f1981195f9904466a39c9948fe30bbff2660be1715a4589334c74c7, 0xbc3736a2f4f6779c59bdcee36b692153d0a9877cc62a474002df32e52139f0a0)

n

0xfffffffeffffffffffffffffffffffff7203df6b21c6052b53bbf40939d54123

h

0x01

prime192v1

参数

值

p

0xfffffffffffffffffffffffffffffffeffffffffffffffff

a

0xfffffffffffffffffffffffffffffffefffffffffffffffc

b

0x64210519e59c80e70fa7e9ab72243049feb8deecc146b9b1

G

(0x188da80eb03090f67cbf20eb43a18800f4ff0afd82ff1012, 0x07192b95ffc8da78631011ed6b24cdd573f977a11e794811)

n

0xffffffffffffffffffffffff99def836146bc9b1b4d22831

h

0x1

prime256v1

参数

值

p

0xffffffff00000001000000000000000000000000ffffffffffffffffffffffff

a

0xffffffff00000001000000000000000000000000fffffffffffffffffffffffc

b

0x5ac635d8aa3a93e7b3ebbd55769886bc651d06b0cc53b0f63bce3c3e27d2604b

G

(0x6b17d1f2e12c4247f8bce6e563a440f277037d812deb33a0f4a13945d898c296, 0x4fe342e2fe1a7f9b8ee7eb4a7c0f9e162bce33576b315ececbb6406837bf51f5)

n

0xffffffff00000000ffffffffffffffffbce6faada7179e84f3b9cac2fc632551

h

0x1

secp256k1

参数

值

p

0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffefffffc2f

a

0x0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

b

0x0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007

G

(0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798, 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8)

n

0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141

h

0x1

secp384r1

参数

值

p

0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffeffffffff0000000000000000ffffffff

a

0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffeffffffff0000000000000000fffffffc

b

0xb3312fa7e23ee7e4988e056be3f82d19181d9c6efe8141120314088f5013875ac656398d8a2ed19d2a85c8edd3ec2aef

G

(0xaa87ca22be8b05378eb1c71ef320ad746e1d3b628ba79b9859f741e082542a385502f25dbf55296c3a545e3872760ab7, 0x3617de4a96262c6f5d9e98bf9292dc29f8f41dbd289a147ce9da3113b5f0b8c00a60b1ce1d7e819d7a431d7c90ea0e5f)

n

0xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffc7634d81f4372ddf581a0db248b0a77aecec196accc52973

h

0x1

secp521r1

参数

值

p

0x01ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

a

0x01fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffc

b

0x0051953eb9618e1c9a1f929a21a0b68540eea2da725b99b315f3b8b489918ef109e156193951ec7e937b1652c0bd3bb1bf073573df883d2c34f1ef451fd46b503f00

G

(0x00c6858e06b70404e9cd9e3ecb662395b4429c648139053fb521f828af606b4d3dbaa14b5e77efe75928fe1dc127a2ffa8de3348b3c1856a429bf97e7e31c2e5bd66, 0x011839296a789a3bc0045c8a5fb42c7d1bd998f54449579b446817afbd17273e662c97ee72995ef42640c550b9013fad0761353c7086a272c24088be94769fd16650)

n

0x01fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffa51868783bf2f966b7fcc0148f709a5d03bb5c9b8899c47aebb6fb71e91386409

h

0x1

相关接口

const char *ec_curve_name(int curve);

对给定的椭圆曲线OID值curve返回对应的椭圆曲线名称（支持的曲线在上一节中已全部列出，下同），如果curve对应的椭圆曲线不在此列，则返回NULL。

int ec_curve_from_name(const char *name);

对给定的椭圆曲线名称name返回对应的OID（具体值在oid.h中定义），如果给定的椭圆曲线不在此列，则返回值OID_undef。

int ec_public_key_algor_to_der(int curve, uint8_t **out, size_t *outlen);
int ec_public_key_algor_from_der(int *curve, const uint8_t **in, size_t *inlen);

这两个函数没有对应源代码；功能暂时空缺

~~ec_public_key_algor_to_der函数将给定的椭圆曲线OID值curve转换为DER格式，并按ASN1标准将每一项内容及其长度存放到out和outlen中；ec_public_key_algor_from_der则从给定的数组in和长度信息inlen中读取DER格式的椭圆曲线并将其写入curve中。函数执行成功返回1，失败返回-1。~~